Tema 3: Combinatoria: modelos de conteo

H1Constatar que el principio multiplicativo sirve donde el árbol deja de ser práctico

• Para la Activación: listar todos los casos de una versión reducida del contexto y contarlos de las dos maneras, enumerando y multiplicando, verificando que coinciden.
• Para el Contexto: reconocer que el árbol del contexto (e.g. patentes chilenas) no se puede dibujar ni recorrer, y que el conteo sí se puede hacer con el principio multiplicativo de conteo, de modo que lo que falta es una forma de escribirlo sin el dibujo.

H2Escribir el conteo sin dibujar el árbol

• Aplicar la representación de casillas a las etapas (la casilla es una 'variable dinámica' cuyos valores posibles son las opciones de la etapa respectiva), una por etapa con su número de opciones, y escribir el principio multiplicativo como n₁·n₂·…·n_k.
• Comparar cuántas patentes admite el formato usado hasta 2007 con el actual. Nota: si se ocupa el contexto, la descripción de estos formatos es para el componente de Contexto.

H3Describir los casos como k-tuplas y definir el modelo nᵏ

• Nombrar caso o manera a cada resultado posible del proceso, que en el árbol del Tema 2 era identificado con una rama, y definir la k-tupla como la colección ordenada en que cada posición corresponde a la elección de una etapa.
• Establecer que dos k-tuplas son iguales sólo si coinciden en todas sus posiciones (así como las ramas coinciden si pasan por los mismos nodos), y describir el espacio muestral como el conjunto de todas las k-tuplas posibles, listando algunos elementos para verificar que se entiende el formato. Nota: Esto realmente une las listas ordenadas del Tema 1 con los árboles del Tema 2.
• Establecer que, cuando las k etapas ofrecen las mismas n opciones, el conteo es nᵏ, y nombrar el modelo de las elecciones ordenadas con repetición.

H4Declarar las condiciones del modelo

• Enunciar las tres propiedades que una situación debe cumplir para que el modelo de las elecciones ordenadas con repetición la represente: que se haga una cantidad fija k de elecciones entre n elementos disponibles, con k cualquiera, incluso mayor que n, que un mismo elemento pueda elegirse más de una vez, y que dos resultados con los mismos elementos en distinto orden sean resultados distintos.
• Presentar las tres preguntas identificatorias como lo que se le pregunta a cualquier situación de conteo antes de contar: ¿cuántas elecciones k se hacen, y cómo se compara k con la cantidad n de elementos disponibles?, ¿puede repetirse un elemento? y ¿dos resultados con los mismos elementos en distinto orden son el mismo resultado?. Responderlas para el modelo de esta lección. Nota: esta lección no lleva tabla de diferencias, porque hay un solo modelo; la tabla parte en la Lección 2.

H5Práctica: decidir si el modelo representa la situación, y contar

• Decidir si el modelo representa una partida de cachipún y una contraseña numérica, y determinar cuántos casos tiene cada una.
• Reconocer que no representa una situación donde una etapa ofrece distinta cantidad de opciones según lo elegido antes, y contar sus casos volviendo al árbol.

H1Identificar las propiedades que cambian respecto del modelo anterior

• Listar los seis órdenes posibles de un festival de tres números y contarlos.
• Contrastar con las ruletas de la clase anterior y reconocer los dos cambios: aquí se hacen tantas elecciones como elementos hay, k = n, y un elemento ya usado deja de estar disponible, de modo que el número de opciones decrece en cada etapa.

H2Generalizar el conteo y escribirlo como n!

• Representar el conteo con casillas decrecientes y reconocer el patrón n·(n−1)·…·2·1.
• Definir la permutación de n elementos y la notación factorial n!, verificando el caso n = 3 contra la lista del hito anterior.
• Describir el espacio muestral como el conjunto de todos los órdenes posibles y establecer que tiene n! elementos.

H3Justificar combinatorialmente la identidad n! = n·(n−1)!

• Reconocer que un elemento nuevo puede insertarse en cualquiera de las n posiciones de cada permutación de los n−1 anteriores.
• Argumentar por qué esa construcción genera todas las permutaciones sin repetir ninguna.

H4Declarar las condiciones del modelo

• Enunciar las tres propiedades que una situación debe cumplir para que el factorial la represente: que se hagan tantas elecciones como elementos disponibles, k = n, que cada elemento se use exactamente una vez, y que dos resultados con los mismos elementos en distinto orden sean resultados distintos.
• Construir la tabla de diferencias entre modelos, con una fila para cada uno de los dos modelos y una columna por cada pregunta identificatoria que los distingue: ¿cuántas elecciones k se hacen, y cómo se compara k con la cantidad n de elementos disponibles? y ¿puede repetirse un elemento?. La pregunta del orden queda fuera, porque en los dos modelos el orden distingue los resultados. La tabla va en la Sistematización.

H5Práctica: decidir entre los dos modelos disponibles, y contar

• Decidir, en dos situaciones nuevas, si corresponde el factorial o el modelo de la clase anterior, determinando antes si los elementos pueden repetirse.
• Determinar el número de resultados de cada una con el modelo elegido, y verificar el caso más pequeño listando sus resultados.

H1Identificar la propiedad que cambia respecto del modelo anterior

• Listar los arreglos posibles de una directiva de dos cargos entre cuatro candidatos y contarlos.
• Contrastar con el festival de la clase anterior: allí k = n, porque se ordenaban todos los elementos, y aquí k es menor que n, porque se eligen y ordenan sólo algunos.

H2Generalizar el conteo con casillas decrecientes

• Explicar por qué el conteo del caso reducido da 4·3, representándolo con casillas decrecientes.
• Formalizar el conteo n·(n−1)·…·(n−k+1) y nombrarlo variación sin repetición de k elementos entre n.

H3Escribir el modelo con factoriales y reconocer la permutación como su caso k = n

• Escribir el producto como V(n,k) = n!/(n−k)!, justificando la división por los (n−k)! ordenamientos de los elementos no elegidos.
• Observar que la convención 0! = 1 permite que la expresión siga valiendo cuando k = n, y reconocer que el modelo de la clase anterior es ese caso.

H4Declarar las condiciones del modelo

• Enunciar las tres propiedades que una situación debe cumplir para que la variación sin repetición la represente: que se haga una cantidad fija k de elecciones entre n elementos disponibles, con k ≤ n, que cada elemento elegido se use una sola vez, y que dos resultados con los mismos elementos en distinto orden sean resultados distintos.
• Agregar a la tabla de diferencias la fila de la variación sin repetición, reconociendo que se distingue de las permutaciones sólo en el valor de k, que allá es igual a n y acá puede ser menor, y de las elecciones ordenadas con repetición sólo en si un elemento puede repetirse. No entra ninguna columna nueva, porque el orden sigue distinguiendo los resultados en los tres modelos.

H5Práctica: decidir entre los tres modelos disponibles, y contar

• Discriminar entre la directiva del curso, las contraseñas numéricas y los cartones de lotería según si admiten repetir elementos, determinando qué modelo corresponde a cada una.
• Determinar el número de resultados de cada una con el modelo elegido, y explicar por qué la directiva admite menos arreglos que el festival de la clase anterior pese a tener más candidatos.

H1Identificar la propiedad que cambia respecto del modelo anterior y no permite utilizarlo

• Contrastar la directiva de la clase anterior con la elección de un comité del mismo curso sin cargos, reconociendo que ahora dos elecciones con los mismos estudiantes representan la misma decisión.

H2Contar el caso reducido agrupando los arreglos que representan la misma elección

• Listar los arreglos ordenados de tres elegidos entre cinco candidatos y agrupar los que corresponden al mismo comité.
• Establecer que lo que se cuenta son subconjuntos y no k-tuplas, describir el conjunto de todos los comités posibles listando algunos, y distinguir la notación { } de la notación ( ).

H3Generalizar la corrección y obtener el número combinatorio

• Reconocer que cada elección aparece k! veces entre los arreglos ordenados, obtener C(n,k) = V(n,k)/k! y nombrarlo número combinatorio.
• Obtener la forma cerrada C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) y aplicarla al comité del curso completo.

H4Declarar las condiciones del modelo, completar la tabla de diferencias y declarar su alcance

• Enunciar las tres propiedades que una situación debe cumplir para que la combinación la represente: que se haga una cantidad fija k de elecciones entre n elementos disponibles, con k ≤ n, que cada elemento elegido se use una sola vez, y que dos resultados con los mismos elementos en distinto orden sean el mismo resultado.
• Agregar a la tabla de diferencias la fila de la combinación y la columna ¿dos resultados con los mismos elementos en distinto orden son el mismo resultado?, que entra ahora porque es la primera vez que la respuesta cambia. Reconocer que entre la variación y la combinación cambia sólo esa respuesta, y verificar que las tres preguntas bastan para distinguir los cuatro modelos.
• Declarar el alcance de la tabla: abarca estos cuatro modelos, y hay problemas de conteo con restricciones más particulares que ninguno representa. Esos problemas se resuelven con los principios multiplicativo y aditivo en general, razonando etapa por etapa y separando en casos cuando una restricción lo exige. Por ejemplo: con los dígitos 0, 2, 3, 6, 7 y 9, ¿cuántos números pares entre 1000 y 10000 se pueden formar? ¿Y si además todos los dígitos deben ser distintos? Nota: son números de cuatro cifras, así que la primera no puede ser 0 y la última debe ser 0, 2 o 6. Con repetición hay 5·6·6·3 = 540. Sin repetición hay que separar según la última cifra, porque de ella depende cuántas opciones quedan para la primera: si termina en 0 hay 5·4·3 = 60, y si termina en 2 o en 6 hay 4·4·3 = 48 en cada caso, en total 60 + 48 + 48 = 156. Ninguno de los cuatro modelos da ese conteo, porque la primera y la última posición tienen restricciones propias.

H5Práctica: decidir entre los cuatro modelos, y contar

• Determinar, en una situación que primero selecciona y después asigna posiciones, cuántas selecciones y cuántas asignaciones son posibles, decidiendo en cada caso si el orden importa.
• Corregir un conteo que aplicó variaciones donde correspondían combinaciones, recalculándolo con el modelo que sí representa la situación.

H1Usar las tres preguntas para decidir si aplica un modelo

• Responder las tres preguntas identificatorias en una situación de conteo para identificar sus propiedades, y con esas respuestas ver en la tabla de diferencias si alguno de los cuatro modelos la representa o si es necesario producir una estrategia de conteo nueva (ver Lección 1).
• Clasificar cuatro o cinco situaciones breves, de contextos distintos, que entre todas cubran las cuatro filas. En cada una se responden las tres preguntas y se nombra el modelo que resulta. El estudiante entrega las tres respuestas además del nombre del modelo, de modo que una clasificación equivocada se pueda rastrear hasta la pregunta que la produjo. La tarea termina en la clasificación: el cálculo y la justificación vienen después.

H2Justificar la elección del modelo

• Volver sobre una de las situaciones ya clasificadas y justificar por escrito el modelo elegido, citando para cada pregunta identificatoria la parte del enunciado que determina su respuesta. Lo que se produce acá es la evidencia, no la clasificación, que ya está hecha. Nota: la situación elegida tiene que traer en su texto un dato localizable por cada una de las tres preguntas; si alguna respuesta sale del sentido común y no del enunciado, la tarea se queda sin evidencia que citar.

H3Anticipar el efecto de cambiar una propiedad

• Comparar dos situaciones del mismo contexto, con los mismos n y k, que difieren únicamente en una de las tres propiedades. Anticipar cuál admite más resultados y explicar por qué antes de calcular, después contar los de cada una con su modelo y contrastar el resultado con la anticipación. Nota: el par más informativo es el que cambia si el orden distingue los resultados, porque ahí la diferencia entre los dos conteos es exactamente el factor k! que la Lección 4 construyó, y la anticipación se puede justificar sin calcular.

H4Evaluar elecciones de modelo ajenas

• Evaluar un conteo ajeno que aplicó el principio multiplicativo a una situación cuyas etapas cambian de número de opciones según lo elegido antes: decidir si el conteo es válido, nombrar la condición que falla y rehacer el conteo con el árbol.
• Evaluar un conteo cuyo enunciado admite dos lecturas: determinar qué modelo corresponde a cada lectura, decidir cuál sostiene el enunciado citando las palabras que lo deciden, y proponer cómo redactarlo para que admita una sola lectura.

H5Reconocer hasta dónde llega la tabla de diferencias

• Analizar una situación que ninguna de las cuatro filas representa, responder en ella las tres preguntas y constatar que esa combinación de respuestas falta en la tabla. Nota: la combinación disponible es elegir k de n pudiendo repetir un elemento y sin que el orden distinga los resultados, por ejemplo tres helados de entre cuatro sabores. La tarea no construye un modelo nuevo.
• Contar los casos de esa misma situación con una estrategia propia, separándolos según cuántos elementos se repiten y sumando: en los tres helados de entre cuatro sabores hay 4 con los tres sabores iguales, 4·3 = 12 con dos iguales y uno distinto, y 4 con los tres distintos, en total 4 + 12 + 4 = 20. Nota: es el mismo recurso que la Lección 4 declara para los problemas que la tabla no cubre, los principios multiplicativo y aditivo aplicados por casos. El caso de los tres sabores distintos es una combinación, así que se puede contar con el modelo de la Lección 4 o listando.
• Redactar el enunciado de una situación propia para cada fila de la tabla, verificando que las tres respuestas quedan determinadas por lo que quedó escrito y no por lo que el autor tenía en mente.

H1Explicitar el supuesto que hace aplicable la Regla de Laplace

• Leer el caso y reconocer que calcular esta probabilidad contando casos supone que los ocho corredores tienen la misma posibilidad de ocupar cualquier lugar de llegada. Dejar el supuesto escrito antes de revisar el cálculo del estudiante. Nota: el supuesto es una decisión de modelamiento y conviene presentarlo como tal, porque se adopta a falta de información sobre los tiempos de los corredores. Es la misma distinción entre consistente y correcta de la Lección 4 del Tema 1.

H2Diagnosticar que el error está en usar dos modelos distintos

• Identificar qué modelo usó el estudiante para los casos favorables y cuál para los totales, ubicando cada uno en la tabla de diferencias: contó los 45 favorables con combinaciones, sin distinguir el orden de llegada, y los 1680 totales con variaciones sin repetición, distinguiéndolo.
• Verificar que la aritmética del estudiante es correcta, es decir que los 45 y los 1680 están bien contados con el modelo que usó en cada caso, y que 45/1680 = 3/112.
• Diagnosticar el error como una inconsistencia entre los dos conteos: cada uno responde bien a su propia pregunta, y lo que falla es que las dos preguntas son distintas, así que el cociente no cuenta una parte de un todo. Descartar explícitamente las otras dos explicaciones posibles, que sería una equivocación de cálculo o un modelo mal aplicado por separado.

H3Reparar el cálculo por dos vías y obtener el mismo valor

• Rehacer el cálculo contando favorables y totales con el modelo sin orden, 45/70, y después los dos con el modelo con orden, 1080/1680, verificando que las dos vías dan 9/14. Nota: que las dos vías coincidan es lo que instala el criterio de la lección. Lo que importa es que los dos conteos usen el mismo modelo, y no cuál de los dos modelos se elija.
• Reconocer que los casos favorables se separan en tres situaciones que no pueden ocurrir a la vez, según cuál sea el curso que aporta dos clasificados, y que por eso sus conteos se suman: 18 + 9 + 18 = 45. Es la aditividad entre eventos excluyentes de la Lección 4 del Tema 1, aplicada ahora a conteos.

H4Resolver y evaluar cálculos de probabilidad declarando el modelo usado

• Resolver un problema nuevo de probabilidad en un contexto distinto del de la carrera, dejando escrito qué modelo cuenta los casos favorables y cuál los totales antes de operar, y verificando que sea el mismo en los dos.
• Evaluar un cálculo ajeno en que los dos conteos se hicieron con modelos distintos: identificar cuál de los dos habría que rehacer y rehacerlo. Nota: la reparación admite las dos direcciones, y las dos llegan al mismo valor, que es lo que el hito anterior estableció. Lo que se evalúa es que el estudiante deje los dos conteos en el mismo modelo, no que elija uno en particular.

H1Resolver problemas eligiendo el modelo y llegando hasta la probabilidad

• Resolver problemas de dificultad creciente que integren la identificación del modelo, el cálculo y su aplicación al cálculo de probabilidades.